24 | 09 | 2017

Действие как функция координат

Формулы (43.3) и (43.5) вместе можно записать в виде выражения

dS = pi dqi − H dt                            (43.6)

для полного дифференциала действия как функции координат и времени в верхнем пределе интегрирования в (43.1). Предположим теперь, что изменяются координаты (и время) не только конца, но и начала движения. Очевидно, что соответствующее изменение S будет даваться разностью выражений (43.6) на обоих концах, т.е.

dS pi(2)dqi(2) − H (2)dt (2) − pi(1)dqi(1) + H (1)dt (1).         (43.7)

Это соотношение уже само по себе показывает, что, каково бы ни было внешнее воздействие на систему во время движения, ее конечное состояние не может быть произвольной функцией начального, — возможны только такие движения, при которых выражение в правой части равенства (43.7) является полным дифференциалом. Таким образом, уже самый факт существования принципа наименьшего действия, независимо от конкретного вида функции Лагранжа, накладывает на совокупность возможных движений определенные ограничения. В частности, оказывается возможным установить ряд общих закономерностей (не зависящих от вида имеющихся внешних полей) для пучков частиц, разлетающихся из заданных точек пространства. Изучение этих закономерностей составляет предмет так называемой геометрической оптики.

Интересно отметить, что уравнения Гамильтона могут быть выведены формальным образом из условия минимальности действия, если написать последнее, на основании (43.6), в виде интеграла

S pi dqi − H dt                                     (43.8)

и рассматривать координаты и импульсы как независимо варьируемые величины. Предполагая снова для краткости, что имеется всего одна координата (и один импульс), запишем вариацию действия в виде

δS = p dq + pd δq − δq dt − δp dt }.

Преобразование второго члена (интегрирование по частям) дает

δS = δp dq − dt + p δqδq dp + dt.

На границах интегрирования мы должны положить δq=0, так что проинтегрированный член выпадает. Остающееся же выражение может быть равным нулю при произвольных независимых δp и δq лишь при условии обращения в нуль подынтегральных выражений в каждом из двух интегралов:

dq = dt,         dp = − dt,

т.е. мы получаем после деления на dt уравнения Гамильтона.