18 | 11 | 2017

Действие как функция координат

При формулировке принципа наименьшего действия мы рассматривали интеграл

SL dt,                                                (43.1)

взятый по траектории между двумя заданными положениями q(1) и q(2), которые система занимает в заданные моменты времени t1 и t2. При варьировании же действия сравнивались значения этого интеграла для близких траекторий с одними и теми же значениями q(t1) и q(t2). Лишь одна из этих траекторий отвечает минимальному движению — та, для которой интеграл S минимален.

Рассмотрим теперь понятие действия в другом аспекте. Именно, будем рассматривать S как величину, характеризующую движение по истинным траекториям, и сравним значения, которые она имеет для траекторий, имеющих общее начало q(t1)=q(1), но проходящих в момент t2 через различные положения. Другими словами, будем рассматривать интеграл действия для истинных траекторий как функцию значений координат в верхнем пределе интегрирования.

Изменение действия при переходе от одной траектории к близкой к ней другой траектории дается (при одной степени свободы) выражением (2.5)

δS =  δq  −    δq dt.

Поскольку траектории действительного движения удовлетворяют уравнениям Лагранжа, то стоящий здесь интеграл обращается в нуль. В первом же члене полагаем на нижнем пределе δq(t1)=0, а значение δq(t2) обозначим просто, как δq. Заменив также ∂L/∂ на p, получим окончательно: δS=p δq или в общем случае любого числа степеней свободы

δS = pi δqi .                                                    (43.2)

Из этого соотношения следует, что частные производные от действия по координатам равны соответствующим импульсам

= pi .                                                            (43.3)

Аналогичным образом действие можно понимать как явную функцию времени, рассматривая траектории, начинающиеся в заданный момент времени t1 в заданном положении q(1), но заканчивающиеся в заданном положенииq(2) в различные моменты времени t2=t. Понимаемую в этом смысле частную производную ∂S/∂t можно найти путем соответствующего варьирования интеграла. Проще, однако, воспользоваться уже известной нам формулой (43.3), поступив следующим образом.

По самому определению действия его полная производная по времени вдоль траектории равна

= L.                                                       (43.4)

С другой стороны, рассматривая S как функцию координат и времени в описанном выше смысле и используя формулу (43.3), имеем

= + i = + pi i .

Сравнивая оба выражения, находим

= L pi i

или окончательно

= −H.                                             (43.5)