18 | 11 | 2017

Функция Рауса

В некоторых случаях может оказаться целесообразным при переходе к новым переменным заменить на импульсы не все обобщенные скорости, а только некоторые из них. Соответствующее преобразование вполне аналогично произведенному в предыдущем параграфе.

Для упрощения записи формул предположим сначала, что имеются всего две координаты, которые мы обозначим, как q и ξ, и произведем преобразование от переменных q, ξ, , к переменным q, ξ, p, , где p — обобщенный импульс, соответствующий координате q.

Дифференциал функции Лагранжа L(q, ξ, , ) равен

dL dq + d dξ + d = dq + p d dξ + d,

откуда получаем

d (Lp) =  dq dp + dξ + d.

Введем функцию (так называемую функцию Рауса)

R (q, p, ξ, ) = pL,                                                       (41.1)

в которой скорость  выражена через импульс p при помощи равенства p=∂L/∂. Дифференциал

dR = − dq + dp − dξ − d.                               (41.2)

Откуда следует, что

= ,   = − ,                                                        (41.3)

= − ,   = − .                                                 (41.4)

Подставляя последние равенства в уравнение Лагранжа для координаты ξ, получим

= .                                                                   (41.5)

Таким образом, функция Рауса является гамильтоновой по отношению к координате q (уравнения (41.3)) и лагранжевой по отношению к координате ξ (уравнение (41.5)).

Согласно общему определению энергия системы

E + L = p + L.

Ее выражение через функцию Рауса получается путем подстановки сюда (41.1) и (41.4)

E = R − .                                                                  (41.6)

Обобщение полученных формул на случай, когда имеется по нескольку координат q и ξ, очевидно.

Применение функции Рауса может быть целесообразным, в частности, при наличии циклических координат. Если координаты q — циклические, то они не входят явным образом в функцию Лагранжа, а потому и в функцию Рауса, так что последняя будет функцией только от p, ξ, . Но импульсы p, соответствующие циклическим координатам, постоянны (это следует и из второго из уравнений (41.3), которое в этом смысле не дает ничего нового). После замены импульсов р их заданными постоянными значениями уравнения (41.5)

превратятся в уравнения, содержащие только координаты ξ, так что циклические координаты тем самым исключаются полностью. Если эти уравнения решены и функции ξ(t) найдены, то, подставив их в правую часть уравнений

= ,

мы найдем прямым интегрированием функции q(t).