18 | 11 | 2017

Уравнения Гамильтона

При подстановке сюда i и i из уравнений (40.4) последние два члена взаимно сокращаются, так что

.                                                              (40.5)

В частности, если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то dH/dt=0, т.е. мы снова приходим к закону сохранения энергии.

Наряду с динамическими переменными q или q, p функции Лагранжа и Гамильтона содержат различные параметры — величины, характеризующие свойства самой механической системы или действующего на нее внешнего поля. Пусть λ — такой параметр. Рассматривая его как переменную величину, будем иметь вместо (40.1) выражение вида

dL i dqi pi di dλ,

после чего вместо (40.3) получим

dH = − i dqi + i dpi dλ.

Отсюда находим соотношение

=                                           (40.6)

связывающее частные производные по параметру λ от функций Лагранжа и Гамильтона; индексы у производных заказывают, что дифференцирование должно производиться в одном случае при постоянных p и q, а в другом — при постоянных q и .

Этот результат может быть представлен и в другом аспекте. Пусть функция Лагранжа имеет вид L=L0+L', где L' представляет собой малую добавку к основной функции L0. Тогда соответствующая добавка в функции Гамильтона H=H0+H' связана с L' соотношением

(H' )p,q = −(L' ),q .                                         (40.7)

Заметим, что в преобразовании от (40.1) к (40.3) мы не писали члена с dt, учитывающего возможную явную зависимость функции Лагранжа от времени, поскольку последнее играло бы в данном аспекте лишь роль параметра, не имеющего отношения к производимому преобразованию. Аналогично формуле (40.6) частные производные по времени от L и от H связаны соотношением

= .                                               (40.8)