18 | 11 | 2017

Уравнения Гамильтона

Формулирование законов механики с помощью функции Лагранжа (и выводимых из нее уравнений Лагранжа) предполагает описание механического состояния системы путем задания ее обобщенных координат и скоростей. Такое описание, однако, не является единственно возможным. Ряд преимуществ, в особенности при исследовании различных общих вопросов механики, представляет описание с помощью обобщенных координат и импульсов системы. В связи с этим возникает вопрос о нахождении уравнений движения, отвечающих такой формулировке механики.

Переход от одного набора независимых переменных к другому можно совершить путем преобразования, известного в математике под названием преобразования Лежандра. В данном случае оно сводится к следующему.

Полный дифференциал функции Лагранжа как функции координат и скорости равен

dL = dqi + di .

Это выражение можно написать в виде

dL = i dqi + pi di,                                            (40.1)

поскольку производные ∂L/∂i являются, по определению, обобщенными импульсами, a ∂L/∂qi=i в силу уравнений Лагранжа.

Переписав теперь второй член в (40.1) в виде

pi di = d ( pi i) − i dpi ,

перенеся полный дифференциал d ( pi i) в левую часть равенства и изменив все знаки, получим из (40.1):

d ( pi iL) = − i dqi + i dpi .

Величина, стоящая под знаком дифференциала, представляет собой энергию системы (см. § 6); выраженная через координаты и импульсы, она называется гамильтоновой функцией системы

H (p, q, t) = pi iL.                                              (40.2)

Из дифференциального равенства

dH = − i dqi + i dpi ,                                          (40.3)

следуют уравнения

ii.                                                      (40.4)

Это — искомые уравнения движения в переменных p и q, так называемые уравнения Гамильтона. Они составляют систему 2s дифференциальных уравнений первого порядка для 2s неизвестных функций p(t) и q(t), заменяющих собой s уравнений второго порядка лагранжевого метода. Ввиду их формальной простоты и симметрии эти уравнения называют также каноническими.

Полная производная от функции Гамильтона по времени

  i i .