20 | 11 | 2017

Канонические переменные

Пусть теперь параметр λ постоянен, так что рассматриваемая система замкнута.

Произведем каноническое преобразование переменных q, p, выбрав величину I в качестве нового «импульса». Роль производящей функции должно при этом играть «укороченное действие» S0, выраженное в функции от q и I. Действительно, S0 определяется как интеграл

S0 (q,E;λ) = p (q,E;λ) dq,                               (50.1)

взятый при заданном значении энергии E (и параметра λ).

Подробнее: Канонические переменные

Точность сохранения адиабатического инварианта

Уравнение движения в форме (50.10) позволяет снова убедиться в адиабатической инвариантности переменной действия.

Функция S0(q,I;λ) — неоднозначная функция q; при возвращении координаты к первоначальному значению к S0 прибавляется целое кратное от 2I. Производная же (50.9) — однозначная функция, так как дифференцирование производится при постоянном I и прибавляющиеся к S0 приращения при этом исчезают. Как и всякая однозначная функция, функция Λ, будучи выражена через угловую переменную ω, будет периодической функцией этой переменной. Среднее же (по периоду) значение производной ∂Λ/∂ω от периодической функции обращается в нуль. Поэтому, усредняя уравнение (50.10) и вынося при этом Λ (при медленном изменении λ) из-под знака среднего, получим

= − = 0,                                                (51.1)

что и требовалось.

Подробнее: Точность сохранения адиабатического инварианта

Условно-периодическое движение

Рассмотрим замкнутую систему со многими степенями свободы, совершающую финитное (по всем координатам) движение. Предположим при этом, что задача допускает полное разделение переменных в методе Гамильтона-Якоби. Это значит, что при соответствующем выборе координат укороченное действие представляет собой сумму

S0 = Si(qi)                                                 (52.1)

функций, каждая из которых зависит только от одной из координат.

Подробнее: Условно-периодическое движение