Кеплерова задача
 

Кеплерова задача

Полному обороту по эллипсу соответствует изменение параметра ξ от нуля до 2.

Совершенно аналогичные вычисления для гиперболических траекторий приводят к результату

r = α (е ch ξ − 1),  t (е sh ξ − ξ),  х = α (е − сh ξ),  y = α sh ξ,         (15.12)

где параметр ξ пробегает значения от − до +.

Обратимся к движению в поле отталкивания, в котором

U                                                               (15.13)

(>0). В этом случае эффективная потенциальная энергия

Uэф

монотонно убывает от + до нуля при изменении r от нуля до . Энергия частицы может быть только положительной и движение всегда инфинитно. Все вычисления для этого случая в точности аналогичны произведенным выше. Траектория является гиперболой

= −1 + е соs φ                                                (15.14)

(р и e определяются прежними формулами (15.4)). Она проходит мимо центра поля, как показано на рис. 13.

Рис. 13

Расстояние перигелия

rmin = α (е + 1).                                  (15.15)

Зависимость от времени дается параметрическими уравнениям

r = α (е ch ξ + 1),  t (е sh ξ + ξ),  х = α (сh ξ +e),  y = α sh ξ .        (15.16)

В заключение укажем, что при движении в поле U=/r (с любым знаком ) имеется интеграл движения, специфический именно для этого поля. Легко проверить непосредственным вычислением, что величина

[vM] +  = const.                                            (15.17)

Действительно, ее полная производная по времени равна

[M] + ,

или, подставив М=m[rv]:

mr (v) − mv (r) +  ;

положив здесь согласно уравнениям движения m=r/г3, мы найдем, что это выражение обращается в нуль.

Сохраняющийся вектор (15.17) направлен вдоль большой оси от фокуса к перигелию, а по величине равен е. В этом проще всего можно убедиться, рассмотрев его значение в перигелии.

Подчеркнем, что интеграл движения (15.17), как и интегралы М и Е, является однозначной функцией состояния (положения и скорости) частицы.