Кеплерова задача
 

Кеплерова задача

Наименьшее допустимое значение энергии совпадает с (15.3), при этом е=0, т.е. эллипс обращается в окружность. Отметим, что большая полуось эллипса зависит только от энергии (но не от момента) частицы. Наименьшее и наибольшее расстояния до центра поля (фокуса эллипса) равны

rmin = = α (1−e),  rmaxα (1+e).                  (15.7)

Эти выражения (с α и е из (15.6) и (15.4)) можно было бы, конечно, получить и непосредственно как корни уравнения Uэф(r)= Е.

Время обращения по эллиптической орбите, т.е. период движения Т, удобно определить с помощью закона сохранения момента в форме «интеграла площадей» (14.3). Интегрируя это равенство по времени от нуля до Т, получим

2mƒ = ТМ,

где ƒ — площадь орбиты. Для эллипса ƒ=αb, и с помощью формул (15.6) находим

T = 2α 3⁄2 = .                                               (15.8)

Тот факт, что квадрат периода должен быть пропорционален кубу линейных размеров орбиты (см. здесь). Отметим также, что период зависит только от энергии частицы.

При Е≥0 движение инфинитно. Если Е>0, то эксцентриситет е>1, т.е. траектория является гиперболой, огибающей центр поля (фокус), как показано на рис. 12.

Рис. 12

Расстояние перигелия от центра

rmin = = α (е - 1),                                      (15.9)

где

α = =

— «полуось» гиперболы.

В случае же Е=0 эксцентриситет е=1, т.е. частица движется по параболе, с расстоянием перигелия rmin=р/2. Этот случай осуществляется, если частица начинает свое движение из состояния покоя на бесконечности.

Зависимость координат частицы от времени при движении по орбите может быть найдена с помощью общей формулы (14.6). Она может быть представлена в удобном параметрическом виде следующим образом.

Рассмотрим сначала эллиптические орбиты. Вводя α и е согласно (15.4), (15.6), запишем интеграл (14.6), определяющий время, в виде

t   .

С помощью естественной подстановки

r − α = −αе cos ξ

этот интеграл приводится к виду

t =(1 − e cos ξ) d ξ = (ξ − e sin ξ) + const.

Выбирая начало отсчета времени так, чтобы обратить const в нуль, получим окончательно следующее параметрическое представление зависимости r от t:

r = α(1 − e cos ξ),   t = (ξ − e sin ξ)                          (15.10)

(в момент t=0 частица находится в перигелии). Через тот же параметр ξ можно выразить и декартовы координаты частицы х=r cosφ, у=r sinφ (оси х и у направлены соответственно по большой и малой полуосям эллипса). Из (15.5) и (15.10) имеем

ex = р − r = α (1 — е2) — α (1 − e cos ξ) = αe (cos ξ − е),

а у найдем, как . Окончательно:

х = α (cos ξ − е),    у = α  sin ξ.                            (15.11)