Кеплерова задача
 

Кеплерова задача

Важнейшим случаем центральных полей являются поля, в которых потенциальная энергия обратно пропорциональна r и соответственно силы обратно пропорциональны r2. Сюда относятся ньютоновские поля тяготения и кулоновские электростатические поля; первые, как известно, имеют характер притяжения, а вторые могут быть как полями притяжения, так и отталкивания.

Рассмотрим сначала поле притяжения, в котором

U = −/r                                                (15.1)

с положительной постоянной . График «эффективной» потенциальной энергии

Uэф = −                                               (15.2)

имеет вид, изображенный на рис. 10.

Рис. 10

При r→0 она обращается в +, а при r стремится к нулю со стороны отрицательных значений; при r=М 2/m она имеет минимум, равный

(Uэф)min = −                                                        (15.3)

Из этого графика очевидно, что при Е>0 движение частицы будет инфинитным, а при Е<0 — финитным.

Форма траектории получается с помощью общей формулы (14.7). Подставляя в нее U=−/r и производя элементарное интегрирование, получим

φ = arccos + const .

Выбирая начало отсчета угла φ так, чтобы const=0, и вводя обозначения

p = ,       е = ,                                             (15.4)

перепишем формулу для траектории в виде

p/r = 1 + e cos φ.                                                             (15.5)

Это есть уравнение конического сечения с фокусом в начале координат; р и е — так называемые параметр и эксцентриситет орбиты. Сделанный нами выбор начала отсчета φ заключается, как видно из (15.5), в том, что точка с φ=0 является ближайшей к центру (так называемый перигелий орбиты).

В эквивалентной задаче двух тел, взаимодействующих по закону (15.1), орбита каждой из частиц тоже представляет собой коническое сечение с фокусом в их общем центре инерции.

Из (15.4) видно, что при Е<0 эксцентриситет е<1, т.е. орбита является эллипсом (рис. 11) и движение финитно В соответствии со сказанным в начале параграфа.

Рис. 11

Согласно известным формулам аналитической геометрии большая и малая полуоси эллипса

α = = ,     b = = .                  (15.6)