20 | 11 | 2017

Движение в центральном поле

Формулы (14.6) и (14.7) решают в общем виде поставленную задачу. Вторая из них определяет связь между r и φ, т.е. уравнение траектории. Формула же (14.6) определяет в неявном виде расстояние r движущейся точки от центра как функцию времени. Отметим, что угол φ всегда меняется со временем монотонным образом — из (14.2) видно, что  никогда не меняет знака.

Выражение (14.4) показывает, что радиальную часть движения можно рассматривать как одномерное движение в поле с «эффективной» потенциальной энергией

Uэф = U(r ) + .                                                     (14.8)

Величину М2/(2mr2) называют центробежной энергией. Значения r, при которых

U(r ) + = E                                                            (14.9)

определяют границы области движения по расстоянию от центра. При выполнении равенства (14.9) радиальная скорость обращается в нуль. Это не означает остановки частицы (как при истинном одномерном движении), так как угловая скорость  не обращается в нуль. Равенство = 0 означает «точку поворота» траектории, в которой функция r(t) переходит от увеличения к уменьшению или наоборот.

Если область допустимого изменения r ограничена лишь одним условием r≥rmin, то движение частицы инфинитно — ее траектория приходит из бесконечности и уходит на бесконечность.

Если область изменения r имеет две границы rmin и rmax, то движение является финитным и траектория целиком лежит внутри кольца, ограниченного окружностями r=rmax и r=rmin. Это, однако, не означает, что траектория непременно является замкнутой кривой. За время, в течение которого r изменяется от rmax до rmin и затем до rmax, радиус-вектор повернется на угол Δφ, равный, согласно (14.7),

Δφ = 2 .                          (14.10)

Условие замкнутости траектории заключается в том, чтобы этот угол был равен рациональной части от 2, т.е. имел вид Δφ = 2mn, где m, n — целые числа. Тогда через n повторений этого периода времени радиус-вектор точки, сделав m полных оборотов, совпадает со своим первоначальным значением, т.е. траектория замкнется.

Однако такие случаи исключительны, и при произвольном виде U(r) угол Δφ не является рациональной частью от 2. Поэтому в общем случае траектория финитного движения не замкнута. Она бесчисленное число раз проходит через минимальное и максимальное расстояние (как, например, на рис. 9) и за бесконечное время заполняет все кольцо между двумя граничными окружностями.

Рис. 9

Существуют лишь два типа центральных полей, в которых все траектории финитных движений замкнуты. Это поля, в которых потенциальная энергия частицы пропорциональна 1⁄r или r2. Первый из этих случаев рассмотрен в следующем параграфе, а второй соответствует так называемому пространственному осциллятору.

В точке поворота квадратный корень (14.5) (а вместе с ним и подынтегральные выражения в (14.6) и (14.7)) меняет знак. Если отсчитывать угол φ от направления радиус-вектора, проведенного в точку поворота, то примыкающие с двух сторон к этой точке отрезки траектории будут отличаться лишь знаком φ при каждых одинаковых значениях r; это значит, что траектория симметрична относительно указанного направления. Начав, скажем, от какой-либо из точек r=rmax, мы пройдем отрезок траектории до точки с r=rmin, затем будем иметь симметрично расположенный такой же отрезок до следующей точки с r=rmax и т.д., т.е. вся траектория получается повторением в прямом и обратном направлениях одинаковых отрезков. Это относится и к инфинитным траекториям, состоящим из двух симметричных ветвей, простирающихся от точки поворота rmin до бесконечности.

Наличие центробежной энергии (при движении с М≠0), обращающейся при r→0 в бесконечность, как smallƒrac1r2, приводит обычно к невозможности проникновения движущихся частиц к центру поля, даже если последнее само по себе имеет характер притяжения. «Падение» частицы в центр возможно лишь, если потенциальная энергия достаточно быстро стремится к − при r→0. Из неравенства

  = EU(r) −  > 0

или

r 2U(r) +  < Er 2

следует, что r может принимать стремящиеся к нулю значения лишь при условии

r 2U(r)  < − ,                                          (14.11)

т.е. U(r) должно стремиться к − либо как  с >, либо пропорционально − с n>2.