18 | 11 | 2017

Движение в центральном поле

Сведя задачу о движении двух тел к задаче о движении одного тела, мы пришли к вопросу об определении движения частицы во внешнем поле, в котором ее потенциальная энергия зависит только от расстояния r до определенной неподвижной точки; такое поле называют центральным. Сила

F = − = −   ,

действующая на частицу, по абсолютной величине зависит при этом тоже только от r и направлена в каждой точке вдоль радиус-вектора.

При движении в центральном поле сохраняется момент системы относительно центра поля. Для одной частицы это есть

М = [].

Поскольку векторы М и r взаимно перпендикулярны, постоянство М означает, что при движении частицы ее радиус-вектор все время остается в одной плоскости — плоскости, перпендикулярной к М.

Таким образом, траектория движения частицы в центральном поле лежит целиком в одной плоскости. Введя в ней полярные координаты r, φ, напишем функцию Лагранжа в виде

L = (2 + r 2 2) − U(r ).                               (14.1)

Эта функция не содержит в явном виде координату φ. Всякую обобщенную координату не входящую явным образом в лагранжеву функцию, называют циклической. В силу уравнения Лагранжа имеем для такой координаты:

= = 0,

Т.е. соответствующий ей обобщенный импульс pi = ∂L/∂i является интегралом движения. Это обстоятельство приводит к существенному упрощению задачи интегрирования уравнений движения при наличии циклических координат.

В данном случае обобщенный импульс

рφ = mr 2

совпадает с моментом Mz = М, так что мы возвращаемся к известному уже нам закону сохранения момента

М = mr 2 = const.                                           (14.2)

Заметим, что для плоского движения одной частицы в центральном поле этот закон допускает простую геометрическую интерпретацию. Выражение (1/2)rrdφ представляет собой площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории (рис. 8).

Рис. 8

Обозначив ее как dƒ, напишем момент частицы в виде

М = 2m,                                                           (14.3)

где производную  называют векториальной скоростью. Поэтому сохранение момента означает постоянство секториальной скорости — за равные промежутки времени радиус-вектор движущейся точки описывает равные площади (так называемый второй закон Кеплера).

Полное решение задачи о движении частицы в центральном поле проще всего получить, исходя из законов сохранения энергии и момента, не выписывая при этом самих уравнений движения. Выражая  через М из (14.2) и подставляя в выражение для энергии, получим

E = (2 + r 2 2) + U(r ) = + + U (r ).               (14.4)

Отсюда

=                                         (14.5)

или, разделяя переменные и интегрируя

t + const.                                 (14.6)

Далее, написав (14.2) в виде

d φ = dt,

подставив сюда dt из (14.5) и интегрируя, находим

φ =  + const.                                 (14.7)