18 | 11 | 2017

Приведенная масса

Полное решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы, состоящей всего из двух взаимодействующих частиц (задача двух тел).

В качестве предварительного шага к решению этой задачи покажем, каким образом она может быть существенно упрощена путем разложения движения системы на движение центра инерции и движения точек относительно последнего.

Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц зависит лишь от расстояния между ними, т.е. от абсолютной величины разности их радиус-векторов. Поэтому лагранжева функция такой системы

L − U (|r1г2|).                                    (13.1)

Введем вектор взаимного расстояния обеих точек

r = r1 - г2

и поместим начало координат в центре инерции, что дает

m1r1 + m2r2 = 0.

Из двух последних равенств находим

r1 = r,       r2 = − r.                                  (13.2)

Подставляя эти выражения в (13.1), получим

L = U (r),                                                               (13.3)

где введено обозначение

m ;                                                              (13 4)

величина m называется приведенной массой. Функция (13.3) формально совпадает с функцией Лагранжа одной материальной точки с массой m, движущейся во внешнем поле U(r), симметричном относительно неподвижного начала координат.

Таким образом, задача о движении двух взаимодействующих материальных точек сводится к решению задачи о движении од-
ной точки в заданном внешнем поле U(r). По решению г=г(t) этой задачи траектории г1=г1(t)  и г2=г2(t) каждой из частиц m1 и m2 в отдельности (по отношению к их общему центру инерции) получаются по формулам (13.2).