18 | 11 | 2017

Определение потенциальной энергии по периоду колебаний

Рассмотрим вопрос о том, в какой степени можно восстановить вид потенциальной энергии U(x) поля, в котором частица совершает колебательное движение, по известной зависимости периода этого движения Т от энергии Е. С математической точки зрения речь идет о решении интегрального уравнения (11.5), в котором U(x) рассматривается как неизвестная, а Т(Е) — как известная функции.

При этом мы будем заранее предполагать, что искомая функция U(x) имеет в рассматриваемой области пространства лишь один минимум, оставляя в стороне вопрос о возможности существования решений интегрального уравнения, не удовлетворяющих этому условию. Для удобства выберем начало координат в положении минимума потенциальной энергии, а значение последней в этой точке положим равным нулю (рис. 7).

Рис. 7

Преобразуем интеграл (11.5), рассматривая в нем координату x как функцию U. Функция х(U) двузначна — каждое значение потенциальной энергии осуществляется при двух различных значениях х. Соответственно этому интеграл (11.5), в котором мы заменяем на dU, перейдет в сумму двух интегралов: от х = х1 до х = 0 и от х = 0 до х = x2, будем писать зависимость х от U в этих двух областях соответственно как х = х1(U) и x = x2(U).

Пределами интегрирования по dU будут, очевидно, E и 0, так что получаем

T(E) = + = () .

Разделим обе части этого равенства на , где  — па-
раметр, и проинтегрируем по Е от нуля до :

= () ,

или, меняя порядок интегрирования:

= () dU .

Интеграл по вычисляется элементарно и оказывается равным . После этого интегрирование по dU становится тривиальным и дает

= [x2() − x1()]

(при этом учтено, что x2(0) = x1(0) = 0). Заменив теперь букву на U, находим окончательно:

x2(U) − x1(U) = .                                  (12.1)

Таким образом, по известной функции Т(Е) определяется разность x2(U)−x1(U). Сами же функции x2(U) и x1(U) остаются неопределенными. Это значит, что существует не одна, а бесчисленное множество кривых U=U(х), приводящих к заданной зависимости периода от энергии и отличающихся друг от друга такими деформациями, которые не меняют разности двух значений х, соответствующих одному и тому же значению U.

Многозначность решения исчезает, если потребовать, чтобы кривая U=U(х) была симметрична относительно оси ординат, т.е. чтобы было:

x2(U) = −x1(U) ≡ x(U).

В таком случае формула (12.1) дает для х(11) однозначное выражение

x(U) =   .                                            (12.2)