24 | 09 | 2017

Одномерное движение

Одномерным называют движение системы с одной степенью свободы. Наиболее общий вид лагранжевой функции такой системы, находящейся в постоянных внешних условиях, есть

L = α(q)2U (q),                                                    (11.1)

где α(q) — некоторая функция обобщенной координаты q. В частности, если q есть декартова координата (назовем ее х), то

LU (x).                                                         (11.2)

Соответствующие этим лагранжевым функциям уравнения движения интегрируются в общем виде. При этом нет даже необходимости выписывать само уравнение движения, а следует исходить сразу из его первого интеграла — уравнения, выражающего закон сохранения энергии. Так, для функции Лагранжа (11.2) имеем

+ U (x) = Е.

Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, интегрирующееся путем разделения переменных. Имеем

= ,

откуда

t = + const.                              (11.3)

Роль двух произвольных постоянных в решении уравнения движения играют здесь полная энергия Е и постоянная интегрирования const.

Поскольку кинетическая энергия — величина существенно положительная, то при движении полная энергия всегда больше потенциальной, т.е. движение может происходить только в тех областях пространства, где U (х) < Е.

Пусть, например, зависимость U (х) имеет вид, изображенный на рис. 6. Проведя на этом же графике горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энергии, мы сразу же выясним возможные области движения. Так в изображенном на рис. 6 случае движение может происходить лишь в области АВ или в области справа от С.

Рис. 6

Точки, в которых потенциальная энергия равна полной

U (х) = Е,                                                                (11.4)

определяют границы движения. Они являются точками остановки, поскольку в них скорость обращается в нуль. Если область движения ограничена двумя такими точками, то движение происходит в ограниченной области пространства; оно является, как говорят, финитным. Если же область движения не ограничена или ограничена лишь с одной стороны, — движение инфинитно, частица уходит на бесконечность.

Одномерное финитное движение является колебательным — частица совершает периодически повторяющееся движение между двумя границами (на рис. 6 в потенциальной яме АВ между точками х1 и x2). При этом согласно общему свойству обратимости время движения от х1 до x2 равно времени обратного движения от x2 до x1. Поэтому период колебания Т, т.е. время, за которое точка пройдет отx1 до x2 и обратно, равен удвоенному времени прохождения отрезка x1x2 или согласно (11.3)

T (E) =  ,                                    (11.5)

причем пределы х1 и x2 являются корнями уравнения (11.4) при данном значении Е. Эта формула определяет период движения в зависимости от полной энергии частицы.