20 | 11 | 2017

Собственные колебания поля

Введем вещественные «канонические переменные» Qk и Pk согласно соотношениям

Qk =  (ak + ),  Pk = −k  (ak − ) = k.    (52.13)

Функция Гамильтона поля получается подстановкой этих выражений в энергию (52.11):

 

 = k ( + ).                  (52.14)

При этом уравнения Гамильтона /Pk=k совпадают с равенствами Pk=k которые, таким образом, действительно оказываются следствием уравнений движения (это достигнуто надлежащим выбором коэффициента в преобразовании (52.13)). Уравнения же /Qk=−Pk приводят к уравнениям

kQk = 0,                                                  (52.15)

т. е. тождественны с уравнениями поля.

Каждый из векторов Qk и Pk перпендикулярен к волновому вектору k, т. е. имеет по две независимые компоненты. Направление этих векторов определяет направление поляризации соответствующей бегущей волны. Обозначив две компоненты вектора Qk (в плоскости, перпендикулярной k) посредством Qkj, j=1,2, имеем

,    

и аналогично для Pk. Тогда

 = kj,   kj = (j + ).                     (52.16)