20 | 11 | 2017

Собственные колебания поля

Подставив это в (52.8), выразим энергию поля через коэффициенты разложения (52.9). Члены с произведениями вида aka−k или  взаимно сокращаются; заметив также, что суммы ∑ak и ∑a−k отличаются лишь обозначением переменной суммирования и потому совпадают друг с другом, получим окончательно:

= k,  k ak.                            (52.11)

Таким образом, полная энергия поля выражается в виде суммы энергий k связанных с каждой из плоских волн в отдельности.

Аналогичным образом можно вычислить полный импульс поля:

SdV[EH]dV,

причем получается

.                                                    (52.12)

Этот результат можно было ожидать заранее ввиду известного соотношения между энергией и импульсом плоских волн.

Разложением (52.9) достигается описание поля посредством дискретного ряда переменных (векторы ak) вместо описания непрерывным рядом переменных, каковым по существу является описание потенциалом А(x, y, z, t), задаваемым во всех точках пространства. Мы произведем теперь преобразование переменных ak, в результате которого окажется возможным придать уравнениям поля вид, аналогичный каноническим уравнениям (уравнениям Гамильтона) механики.