18 | 11 | 2017

Разложение электростатического поля

Поле, созданное зарядами, тоже можно формально разложить по плоским волнам (в интеграл Фурье). Это разложение, однако, существенно отличается от разложения электромагнитных волн в пустоте. Действительно, поле зарядов не удовлетворяет однородному волновому уравнению, а потому и каждый член разложения поля не удовлетворяет этому уравнению. Отсюда следует, что для плоских волн, на которые можно разложить поле зарядов, не выполняется соотношение k2=ω2/c2, которое имеет место для плоских монохроматических электромагнитных волн.

В частности, если формально представить электростатическое поле в виде наложения плоских волн, то «частота» этих волн будет равна нулю, так как рассматриваемое поле не зависит от времени; волновые же векторы, конечно, отличны от нуля.

Рассмотрим поле, создаваемое точечным зарядом e, находящимся в начале координат. Потенциал φ этого поля определяется уравнением (см. здесь)

Δφ = −4π(r).                                                           (51.1)

Разложим φ в пространственный интеграл Фурье, т. е. представим его в виде

φ eikr φk ,  d3k = dkxdkydkz.                     (51.2)

При этом

φk = φ(r)eikr dV.  

Применив к обеим частям равенства (51.2) оператор Лапласа, находим

Δφ = −k2 eikr φk ,

так что компонента Фурье от выражения Δφ есть

(Δφ)k = −k2 φk.