24 | 09 | 2017

Спектральное разложение

Всякую волну можно подвергнуть так называемому спектральному разложению, т.е. представить в виде наложения монохроматических волн с различными частотами. Эти разложения имеют различный характер в зависимости от характера зависимости поля от времени.

К одной категории относятся случаи, когда разложение содержит частоты, образующие дискретный ряд значений. Простейший случай такого рода возникает при разложении чисто периодического (хотя и не монохроматического) поля. Это есть разложение в обычный ряд Фурье; оно содержит частоты, являющиеся целыми кратными «основной» частоты ω0=2π/Т, где T — период поля. Напишем его в виде

f fne−iω0nt                                       (49.1)

(f — какая-либо из величин, описывающих поле). Величины fn определяются по самой функции f интегралами

fn  f(t)einω0tdt.                                 (49.2)

Ввиду вещественности функции f(t) очевидно, что

f-nfn*.                                                     (49.3)

В более сложных случаях в разложении могут присутствовать частоты, являющиеся целыми кратными (и их суммами) нескольких различных, несоизмеримых друг с другом основных частот.

При возведении суммы (49.1) в квадрат и усреднении по времени произведения членов с различными частотами обращаются в нуль ввиду наличия в них осциллирующих множителей. Останутся лишь члены вида fnf-n=|fn|2. Таким образом, средний квадрат поля (средняя интенсивность волны) представится в виде суммы интенсивностей монохроматических компонент:

= |fn|2 = 2|fn|2                         (49.4)

(подразумевается, что среднее по периоду значение самой функции f(t) равно нулю, так что f0 = 0).