24 | 09 | 2017

Волновое уравнение

Уравнение (46.5) приобретает теперь вид

ΔA −   = 0.                              (46.7)

Это и есть уравнение, определяющее потенциал электромагнитных волн. Оно называется уравнением д'Аламбера или волновым уравнением.

Применяя к (46.7) операции rot и /t, убедимся в том, что напряженности E и H удовлетворяют таким же волновым уравнениям.

Повторим вывод волнового уравнения в четырехмерном виде. Для этого напишем вторую пару уравнений Максвелла для поля в отсутствие зарядов в виде

=0

(уравнение (30.2) с ji=0). Подставив сюда Fik, выраженные через потенциалы:

Fik − ,

получим

−  = 0.                      (46.8)

Наложим на потенциалы дополнительное условие

= 0                                            (46.9)

(это условие называют лоренцевым, а об удовлетворяющих ему потенциалах говорят как о потенциалах в лоренцевой калибровке). Тогда в уравнении (46.8) первый член выпадает и остается

 gkl  = 0.                  (46 10)

Это и есть волновое уравнение, записанное в четырехмерном виде.

В трехмерной форме условие (46.9) имеет вид

  + div A = 0.                                (46.11)

Оно является более общим, чем использованные нами выше условия φ=0, divA=0; потенциалы, удовлетворяющие этим последним, удовлетворяют также и условию (46.11). В отличие от них, однако, условие Лоренца имеет релятивистски инвариантный характер: потенциалы, удовлетворяющие ему в одной системе отсчета, удовлетворяют ему и во всякой другой системе (между тем как условия (46.3), (46.6) нарушаются, вообще говоря, при преобразовании системы отсчета).