18 | 11 | 2017

Волновое уравнение

Электромагнитное поле в пустоте определяется уравнениями Максвелла, в которых надо положить ρ=0, j=0. Выпишем их еще раз:

rot Е = − ,   div Н = 0,                    (46.1)

rot H ,   div Е = 0.                        (46.2)

Эти уравнения могут иметь отличные от нуля решения. Это значит, что электромагнитное поле может существовать даже при отсутствии каких бы то ни было зарядов.

Электромагнитные поля, существующие в пустоте при отсутствии зарядов, называют электромагнитными волнами. Мы займемся теперь исследованием свойств таких полей.

Прежде всего отметим, что эти поля обязательно должны быть переменными. Действительно, в противном случае H/t=E/t=0, и уравнения (46.1), (46.2) переходят в уравнения (36.1), (36.2) и (43.1), (43.2) постоянного поля, в которых, однако, теперь ρ=0, j=0. Но решения этих уравнений, определенные формулами (36.8) и (43.5), при ρ=0, j=0 обращаются в нуль.

Выведем уравнения, определяющие потенциалы электромагнитных волн.

Как мы уже знаем, в силу неоднозначности потенциалов всегда можно наложить на них некоторое дополнительное условие. На этом основании выберем потенциалы электромагнитных волн так, чтобы скалярный потенциал был равен нулю:

φ = 0.                                          (46.3)

Тогда

E =  H = rot A.                 (46.4)

Подставляя оба эти выражения в первое из уравнений (46.2), находим

rot rot A = − ΔA + grad div А = −  .          (46.5)

Несмотря на то, что мы уже наложили одно дополнительное условие на потенциалы, потенциал А все же еще не вполне однозначен. Именно, к нему можно прибавить градиент любой не зависящей от времени функции (не меняя при этом φ). В частности, можно выбрать потенциал электромагнитной волны таким образом, чтобы

div А = 0.                                       (46.6)

Действительно, подставляя E из (46.4) в div E=0, имеем

div  div А = 0,

т.е. div А есть функция только от координат. Эту функцию всегда можно обратить в нуль прибавлением к А градиента от соответствующей не зависящей от времени функции.