20 | 11 | 2017

Движение в неинерциальной системе отсчета

Для вычисления производных, входящих в уравнение Лагранжа, запишем полный дифференциал

dL = mv dv + m dv[Ωr] + mv[Ωdr] + m [Ωr] [Ωdr] − mWdr − dr = mvdv + m dv[Ωr] + m dr[vΩ] + m [[Ωr]Ω] dr −mWdr − dr.

Собирая члены, содержащие dv и dr, найдем

mv + m [Ωr],   = m [vΩ] + m [[Ωr]Ω] − mW .

Подставив эти выражения в (39.2), получим искомое уравнение движения

 − mW + m [r] + 2m [vΩ] + m [Ω[Ωr]].        (39.7)

Мы видим, что «силы инерции», обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей. Сила m[r] связана с неравномерностью вращения, а две другие присутствуют и при равномерном вращении. Сила 2m[vΩ] называется силой Кориолиса; в отличие от всех ранее рассматривавшихся (не диссипативных) сил она зависит от скорости частицы. Сила m[Ω[Ωr]] называется центробежной. Она направлена в плоскости, проходящей через r и Ω перпендикулярно к оси вращения (т.е. направлению Ω), в сторону от оси; по величине центробежная сила равна Ω2, где ρ — расстояние частицы от оси вращения.

Рассмотрим особо случай равномерно вращающейся системы координат, не имеющей поступательного ускорения. Положив в (39.6) и (39.7) Ω=const, W=0, получим функцию Лагранжа

L = + mv[Ωr] + [Ωr]2U.                               (39.8)

и уравнение движения

+ 2m [vΩ] + m [Ω[Ωr]].                          (39.9)

Вычислим также энергию частицы в этом случае. Подставив

pmvm [Ωr]                                                  (39.10)

в E=pvL, получим

E = −  [Ωr]2 + U.                                               (39.11)

Обратим внимание на то, что в энергии линейный по скорости член отсутствует. Влияние вращения системы отсчета сводится к добавлению в энергии члена, зависящего только от координат частицы и пропорционального квадрату угловой скорости. Эта дополнительная потенциальная энергия − (m/2)[Ωr]2 называется центробежной.

Скорость v частицы относительно равномерно вращающейся системы отсчета связана с ее же скоростью v0 относительно инерциальной системы K0 соотношением

v0 = v + [Ωr].                                                             (39.12)

Поэтому импульс p (см.(39.10)) частицы в системе K совпадает с ее же импульсом p0=mv0 в системе K0. Вместе с ними совпадают также моменты импульсов M0=[rp0] и M=[rp]. Энергии же частицы в системах K и K0 различны. Подставив v из (39.12) в (39.11), получим

Emv0[Ωr] + U = + U − m [rv0]Ω.

Первые два члена представляют собой энергию E0 в системе K0. Вводя в последний член момент импульса, получим

E = E0.                                                      (39.13)

Этой формулой определяется закон преобразования энергии при переходе к равномерно вращающейся системе координат. Хотя мы вывели его для одной частицы, но очевидно, что вывод может быть непосредственно обобщен на случай любой системы частиц, это приводит к той же формуле (39.13).