20 | 11 | 2017

Соприкосновение твердых тел

Рассмотрим, например, качение шара по плоской поверхности. Как обычно, обозначим через V скорость поступательного движения (скорость центра шара), а через Ω — угловую скорость вращения его. Скорость точки касания шара с плоскостью получится, если положить r=−αn в общей формуле v=V+[Ωr] (α — радиус шара, n — единичный вектор нормали к плоскости качения в точке соприкосновения). Искомая связь представляет собой условие отсутствия скольжения в точке касания, т.е. дается уравнением

V − α [Ωn] = 0.                                                     (38.3)

Оно не может быть проинтегрировано: хотя скорость V представляет собой полную производную по времени от радиус-вектора центра шара, но зато угловая скорость не является в общем случае полной производной каких-либо координат. Таким образом, связь (38.3) неголономна.

Поскольку уравнения неголономных связей нельзя использовать для уменьшения числа координат, то при наличии таких связей неизбежно приходится пользоваться координатами, которые не все независимы. Для составления соответствующих уравнений Лагранжа снова вернемся к принципу наименьшего действия.

Наличие связей вида (38.2) налагает определенные ограничения на возможные значения вариаций координат. Именно, умножив эти уравнения на δt, мы найдем, что вариации δqi не независимы, а связаны соотношениями

ci δqi = 0.                                                      (38.4)

Это обстоятельство должно быть учтено при варьировании действия. Согласно общему методу Лагранжа для нахождения условных экстремумов, надо к подынтегральному выражению вариации действия

δS = δqi  dt

прибавить умноженные на неопределенные множители (функции координат) λ уравнения (38.4), после чего потребовать обращения интеграла в нуль. При этом можно уже считать все вариации независимыми, и мы получим уравнения

= λci.                                        (38.5)

Вместе с уравнениями связей (38.2) они составляют полную систему уравнений для неизвестных величин qi и λ.

В изложенном методе силы реакции вообще не фигурируют; соприкосновение тел целиком учитывается уравнениями связей. Существует, однако, и другой метод составления уравнений движения соприкасающихся тел, в котором силы реакции вводятся явным образом. Сущность этого метода (составляющего содержание так называемого принципа д'Аламбера) состоит в том, что для каждого из соприкасающихся тел пишутся уравнения

= f = [rf],                                         (38.6)

причем в число действующих на тело сил f включаются также и силы реакции; эти силы заранее неизвестны и сами определяются вместе с движением тела в результате решения уравнений. Этот метод в равной степени применим как при голономных, так и при неголономных связях.