18 | 11 | 2017

Асимметрический волчок

При I1=I2 формулы (37.10), разумеется, приводятся к формулам, полученным в предыдущем параграфе для симметрического волчка. Действительно, при I1I2 параметр k2→0, эллиптические функции вырождаются в круговые:

sn  → sin ,  cn  → cos ,  dn → 1,

и мы возвращаемся к формулам (36.7).

При M2=2EI3 имеем: Ω12=0, Ω3=const, т.е. вектор Ω постоянно направлен вдоль оси инерции x3; этот случай соответствует равномерному вращению волчка вокруг оси x3. Аналогичным образом при M2=2EI1 (при этом ≡0) имеем равномерное вращение вокруг оси x1.

Перейдем к определению абсолютного (по отношению к неподвижной системе координат X, Y, Z) движения волчка в пространстве как функции времени. Для этого вводим эйлеровы углы ψ, φ, θ между осями волчка x1, x2, x3 и осями X, Y, Z, выбрав при этом неподвижную ось Z вдоль направления постоянного вектора M. Поскольку полярный угол и азимут направления Z по отношению к осям x1, x2, x3 равны соответственно θ и /2−ψ, то, проецируя вектор M на оси x1, x2, x3, получим

M sin θ sin ψ = M1 = I1Ω1,

M sin θ cos ψ = M2 = I2Ω2,              (37.13)

M cos θ = M3 = I3Ω3.

Отсюда

cos θ =  ,  tg ψ = ,                                         (37.14)

и, используя формулы (37.10), найдем

cos θ = dn ,  tg ψ = ,      (37.15)

чем и определяется зависимость углов θ и ψ от времени; вместе с компонентами вектора Ω они являются периодическими функциями с периодом (37.12).

Угол φ в формулы (37.13) не входит, и для его вычисления надо обратиться к формулам (10), выражающим компоненты Ω через производные по времени эйлеровых углов. Исключая θ из равенств

Ω1 sin θ sin ψ +  cos ψ,

Ω2 sin θ cos ψ −  sin ψ,

получим

= ,

после чего, используя формулы (37.13), найдем

= .                                          (37.16)

Отсюда функция φ(t) определяется квадратурой, но подынтегральное выражение содержит сложным образом эллиптические функции. Путем ряда довольно сложных преобразований этот интеграл может быть выражен через так называемые тэта-функции; не приводя вычислений, укажем лишь их окончательный результат.

Функция φ(t) может быть представлена (с точностью до произвольной аддитивной постоянной) в виде суммы двух членов

φ(t) = φ1(t) + φ2(t),                                          (37.17)

один из которых дается формулой

e21(t),                                       (37.18)

где  — тэта-функция, а  — вещественная постоянная, определяемая равенством

sn (i • 2K) = i                                (37.19)

(K и T — из (37.11), (37.12)). Функция в правой части (37.18) — периодическая с периодом T/2, так что φ1(t) изменяется на 2 за время T. Второе слагаемое в (37.17) дается формулой

φ2(t) = 2 ,   .         (37.20)

Эта функция испытывает приращение 2 за время T'.

Таким образом, движение по углу φ представляет собой совокупность двух периодических изменений, причем один из периодов (T) совпадает с периодом изменения углов ψ и θ, а другой (T') — несоизмерим с первым. Последнее обстоятельство приводит к тому, что при своем движении волчок никогда не возвращается, строго говоря, в свое первоначальное положение.