18 | 11 | 2017

Асимметрический волчок

Для определения зависимости компонент Ω (или пропорциональных им компонент M) от времени обратимся к уравнениям Эйлера (36.5). Выразив Ω1 и Ω3 через Ω2 из двух уравнений (37.2), (37.3)

= {(2EI3 − M 2) − I2(I3I2)},    = {(M 2 − 2EI1) − I2(I2I1)}    (37.6)

и подставив во второе из уравнений (36.5), найдем

Ω1Ω3 = {[(2EI3 − M 2) − I2(I3I2)][(M 2 − 2EI1) − I2(I2I1)]}1/2.     (37.7)

Разделяя в этом уравнении переменные и интегрируя, получим функцию t2) в виде эллиптического интеграла. При приведении его к стандартному виду будем считать для определенности, что

M 2 > 2EI2

(в обратном случае во всех следующих ниже формулах надо переставить индексы 1 и 3). Вводим вместо t и Ω2 новые переменные

= t s = Ω2               (37.8)

и положительный параметр k2<1 согласно

k2 = .                                                (37.9)

Тогда получим

(начало отсчета времени условно выбираем в момент, когда Ω2=0). При обращении этого интеграла возникает, как известно, одна из эллиптических функций Якоби

s = sn ,

чем и определяется зависимость Ω2 от времени. Функции Ω2(t) и Ω3(t) выражаются алгебраически через Ω2(t) согласно равенствам (37.6). Учитывая определение двух других эллиптических функций

cn  = , dn = ,

получим окончательно следующие формулы:


Ω1 cn ,

Ω2 sn ,                   (37.10)

Ω3 dn ,  

Функции (37.10) — периодические, причем их период по переменной равен, как известно, величине 4K, где K есть полный эллиптический интеграл первого рода:

K = = .         (37.11)

Период же по времени дается, следовательно, выражением

T = 4K .                                    (37.12)

По истечении этого времени вектор Ω, возвращается в свое начальное положение относительно осей волчка. (Самый же волчок при этом отнюдь не возвращается в свое прежнее положение относительно неподвижной системы координат — см. ниже.)