18 | 11 | 2017

Асимметрический волчок

Применим уравнения Эйлера к более сложной задаче о свободном вращении асимметрического волчка, у которого все три момента инерции различны. Для определенности будем считать, что

I3 > I2 > I1.                                                        (37.1)

Два интеграла уравнений Эйлера известны заранее. Они даются законами сохранения энергии и момента и выражаются равенствами

I1 + I2 + I3 = 2E + =M 2,      (37.2)

 

где энергия E и абсолютная величина момента M — заданные постоянные. Эти же два равенства, выраженные через компоненты вектора M, имеют вид

 +  = 2E,                                                    (37.3)

 +  = M 2.                                                   (37.4)

Уже отсюда можно сделать некоторые заключения о характере движения волчка. Для этого заметим, что уравнения (37.3) и (37.4) представляют собой, геометрически в осях M1, M2, M3, уравнения соответственно поверхности эллипсоида с полуосями

,

и сферы радиусом M. При перемещении вектора M (относительно осей инерции волчка) его конец движется вдоль линии пересечения указанных поверхностей (на рис. 51 изображен ряд таких линий пересечения эллипсоида со сферами различных радиусов).

Рис. 51

Самое наличие пересечения обеспечивается очевидными неравенствами

2EI1 < M 2 < 2EI3,                                                       (37.5)

геометрически означающими, что радиус сферы (37.4) лежит между наименьшей и наибольшей из полуосей эллипсоида (37.3).

Проследим за изменением характера этих «траекторий» конца вектора M (аналогичные кривые, описываемые концом вектора О, называются полодиями) по мере изменения величины M (при заданной энергии E). Когда M2 лишь немногим превышает 2EI1, сфера пересекает эллипсоид по двум замкнутым маленьким кривым, окружающим ось x1 вблизи соответствующих двух полюсов эллипсоида (при M2→2EI1 эти кривые стягиваются в точки полюсы). По мере увеличения M2 кривые расширяются, а при M2=2EI2 превращаются в две плоские кривые (эллипсы), пересекающиеся друг с другом в полюсах эллипсоида на оси x2. При дальнейшем увеличении M2 вновь возникают две раздельные замкнутые траектории, но окружающие уже полюсы на оси x3; при M2→2EI3 они стягиваются в эти две точки.

Отметим, прежде всего, что замкнутость траекторий означает периодичность перемещения вектора M по отношению к телу волчка; за время периода вектор M описывает некоторую коническую поверхность, возвращаясь в прежнее положение.

Далее отметим существенно различный характер траекторий, близких к различным полюсам эллипсоида. Вблизи осей x1 и x3 траектории расположены целиком в окрестности полюсов, а траектории, проходящие вблизи полюсов на оси x2, в своем дальнейшем ходе удаляются на большие расстояния от этих точек. Такое различие соответствует разному характеру устойчивости вращения волчка вокруг его трех осей инерции. Вращение вокруг осей x1 и x3 (отвечающих наибольшему и наименьшему из трех моментов инерции волчка) устойчиво в том смысле, что при малом отклонении от этих состояний волчок будет продолжать совершать движение, близкое к первоначальному. Вращение же вокруг оси x2 неустойчиво; достаточно малого отклонения, чтобы возникло движение, уводящее волчок в положения, далекие от первоначального.