20 | 11 | 2017

Уравнения Эйлера

При свободном вращении K=0 и уравнения Эйлера принимают вид

+ Ω2Ω3 = 0,

+ Ω3Ω1 = 0,                (36.5)

+ Ω1Ω2 = 0.

В качестве примера применим эти уравнения к уже рассматривавшемуся нами свободному вращению симметрического волчка. Положив I1=I2, имеем из третьего уравнения 3=0, т.е. 3=const. После этого первые два уравнения напишем в виде

1 = −ωΩ2,   2 = ωΩ1,

где введена постоянная величина

ω = Ω3 .                                            (36.6)

Умножив второе уравнение на i и сложив с первым, получим

1 + i Ω2) = i ω (Ω1 + i Ω2),

откуда

Ω1 + i Ω2 = Ae iwt,

где A — постоянная; последнюю можно считать вещественной (это сводится к надлежащему выбору начала отсчета времени), и тогда

Ω1 = A cos ωt,  Ω2 = A sin ωt.                                       (36.7)

Этот результат показывает, что проекция угловой скорости на плоскость, перпендикулярную к оси волчка, вращается в этой плоскости с угловой скоростью ω, оставаясь постоянной по величине . Поскольку проекция Ω3 на ось волчка тоже постоянна, то и весь вектор Ω равномерно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси волчка, оставаясь неизменным по величине. Ввиду связи M1=I1Ω1, M2=I2Ω2, M3=I3Ω3 между компонентами векторов Ω и M такое же движение (по отношению к оси волчка) совершает, очевидно, и вектор момента M.

Полученная картина представляет собой, разумеется, лишь другой аспект того же движения волчка, которое уже было рассмотрено здесь и здесь по отношению к неподвижной системе координат. В частности, угловая скорость вращения вектора M вокруг направления x3 совпадает, в терминах эйлеровых углов, с угловой скоростью — ψ. С помощью уравнений (35.4) имеем

cos θ = M cos θ

или в согласии с (36.6),

= Ω3 .