24 | 09 | 2017

Уравнения Эйлера

Уравнения движения написанные в статье "Уравнения движения твердого тела" относятся к неподвижной системе координат: производные dP/dt и dM/dt в уравнениях (34.1) и (34.3) представляют собой изменения векторов P и M по отношению к этой системе. Между тем, наиболее простая связь между компонентами вращательного момента M твердого тела и компонентами угловой скорости имеет место в подвижной системе координат с осями, направленными по главным осям инерции. Для того чтобы воспользоваться этой связью, необходимо предварительно преобразовать уравнения движения к подвижным координатам x1, x2, x3.

Пусть dA/dt — скорость изменения какого-либо вектора A по отношению к неподвижной системе координат. Если по отношению к вращающейся системе вектор A не изменяется, то его изменение относительно неподвижной системы обусловлено только вращением, и тогда

= [ΩA].

В общем случае к правой части этого равенства надо добавить скорость изменения вектора A по отношению к подвижной системе; обозначив эту скорость, как d'A/dt, получим

+ [ΩA].                                                     (36.1)

С помощью этой общей формулы мы можем сразу переписать уравнения (34.1) и (34.3) в виде

+ [ΩP] = F,   + [ΩM] = K.                            (36.2)

Поскольку дифференцирование по времени производится здесь в подвижной системе координат, то мы можем непосредственно спроецировать уравнения на оси системы, написав

, ... ,  = , ... ,

где индексы 1, 2, 3 означают компоненты по осям x1, x2, x3. При этом в первом уравнении заменяем P на μV и получаем

μ + Ω2V3 − Ω3V2 = F1,

μ + Ω3V1 − Ω1V3 = F2,                     (36.3)

μ + Ω1V2 − Ω2V1 = F3.

Предполагая оси x1x2, x3 выбранными по главным осям инерции, во втором из уравнений (36.2) пишем M1=I1Ω1 и т.д.

I1 + (I3I2) Ω2Ω3 = K1,

I1  + (I1I3) Ω3Ω1 = K2,                (36.4)

I1  + (I2I1) Ω1Ω2 = K3.

Уравнения (36.4) называются уравнениями Эйлера.