18 | 11 | 2017

Эйлеровы углы

Собирая все эти составляющие по каждой из осей, получим окончательно:

Ω1 sin θ sin ψ + cos ψ,

Ω2 sin θ cos ψ − sin ψ,          (35.1)

Ω3 cos θ + .

Если оси x1, x2, x3 выбраны по главным осям инерции твердого тела, то вращательную кинетическую энергию, выраженную через эйлеровы углы, мы получим подстановкой (10) в (32.8).

Для симметрического волчка, у которого I1=I2I3, найдем после простого приведения:

Tвр = (2 sin2 θ + 2) +  ( cos θ + )2.                    (35.2)

Заметим, что это выражение можно получить и проще, воспользовавшись производительностью выбора направлений главных осей инерции x1, x2 у симметрического волчка. Считая, что ось x1 совпадает с осью узлов ON, т.е. что ψ=0, будем иметь для составляющих угловой скорости более простые выражения

Ω1 = ,  Ω2 = sin θ,  Ω3 cos θ + .                        (35.3)

В качестве простого примера применения эйлеровых углов определим с их помощью известное уже нам свободное движение симметрического волчка.

Выберем ось Z неподвижной системы координат в направлении постоянного момента волчка M. Ось x3 подвижной системы направлена по оси волчка, а ось x1 пусть совпадает в данный момент времени с осью узлов. Тогда для компонент вектора M находим с помощью формул (35.3):

M1 = I1Ω1 = I1M2 = I2Ω2 = I2 sin θ, M3I3Ω3 =I3( cos θ + ).

С другой стороны, поскольку ось x1 (линия узлов) перпендикулярна к оси Z, имеем

M1 = 0,  M2 = M sin θ, M3 = M cos θ.

Приравнивая друг другу эти выражения, получим следующие уравнения:

= 0,  I1 = MI3( cos θ + ) = M cos θ.                       (35.4)

Первое из этих уравнений дает θ=const, т.е. постоянство угла наклона оси волчка к направлению M. Второе определяет (в согласии с (33.5)) угловую скорость прецессии =M/I1. Наконец, третье определяет угловую скорость вращения волчка вокруг собственной оси Ω3=Mcosθ/I3.