24 | 07 | 2016

Эйлеровы углы

Как уже указывалось, для описания движения твердого тела можно пользоваться тремя координатами его центра инерции и какими-либо тремя углами, определяющими ориентацию осей x1, x2, x3 движущейся системы координат относительно неподвижной системы X, Y, Z качестве этих углов часто оказываются удобными так называемые эйлеровы углы.

Так как нас сейчас интересуют только углы между осями координат, мы выберем начала обеих систем в одной точке (рис. 47). Подвижная плоскость x1x2 пересекает неподвижную XY по некоторой прямой (ON на рис. 47), которую называют линией узлов. Эта линия, очевидно, перпендикулярна как к оси Z, так и к оси x3, ее положительное направление выберем так, чтобы оно соответствовало направлению векторного произведения [zx3] (где z, x3 — орты в направлении осей Z и x3).

Рис. 47

В Качестве величин, определяющих положение осей x1, x2, x3 относительно осей X, Y, Z, примем следующие углы: угол θ между осями Z и x3, угол φ между осями X и N, угол ψ между осями N и x1. Углы φ и ψ отсчитываются в направлениях, определяемых правилом винта, соответственно вокруг осей Z и x3. Угол θ пробегает значения от нуля до , а углы φ и ψ — от нуля до 2.

Выразим теперь компоненты вектора угловой скорости Ω по подвижным осям x1, x2, x3 через эйлеровы углы и их производные. Для этого надо спроецировать на эти оси угловые скорости , , . Угловая скорость  направлена по линии узлов ON и ее составляющие по осям x1, x2, x3 равны:

1 соs ψ,  2 = − sin ψ,  3 = 0.

Угловая скорость направлена вдоль оси Z; ее проекция на ось x3 равна 3=cosθ, а проекция на плоскость x1x2 равна sinθ. Разлагая последнюю на составляющие по осям x1 и x2, получим

1 sin θ sin ψ,  2 sin θ cos ψ.

Наконец, угловая скорость  направлена по оси x3.