18 | 11 | 2017

Уравнения движения твердого тела

Момент силы, как и момент импульса, зависит, вообще говоря, от выбора начала координат, относительно которого он определен. В (34.3), (34.4) моменты определяются относительно центра инерции тела.

При переносе начала координат на расстояние а новые радиус-векторы r' точек тела связаны со старыми r через r=r'+a. Поэтому

K = [rf] = [r'f] + [af]

или

K = K' + [aF].                                                 (34.5)

Отсюда видно, в частности, что величина момента сил не зависит от выбора начала координат, если полная сила F=0 (в таком случае говорят, что к телу приложена пара сил).

Уравнения (34.3) можно рассматривать как уравнение Лагранжа

  

по отношению к «вращательным координатам». Действительно, дифференцируя функцию Лагранжа (32.4) по компонентам вектора Ω. получим

= Iik Ωk = Mi .

Изменение же потенциальной энергии U при повороте тела на бесконечно малый угол δφ равно:

δU = −fδ = −f[δφ•r] = −δφ[rf] = −Kδφ,

откуда

K = − ,                                                 (34.6)

так что

= − = K.

Предположим, что векторы F и K взаимно перпендикулярны. В этом случае всегда можно найти такой вектор a, чтобы в формуле (34.5) K' обратилось в нуль, так что будет:

K = [aF].                                                        (34.7)

При этом выбор a неоднозначен: прибавление к нему любого вектора, параллельного F, не изменит равенства (34.7), так что условие K'=0 даст не определенную точку в подвижной системе координат, а лишь определенную прямую линию. Таким образом, при KF действие всех приложенных к нему сил может быть сведено к одной силе F, действующей вдоль определенной прямой линии.

Таков, в частности, случай однородного силового поля, в котором действующая на материальную точку сила имеет вид f=eE, где E — постоянный вектор, характеризующий поле, а величина е характеризует свойства частицы по отношению к данному полю. В этом случае имеем

F = Ee,   K =erE.

Предполагая, что e≠0, введем радиус-вектор r0, определенный согласно

r0 = .                                                   (34.8)

Тогда мы получим следующее простое выражение для полного момента сил:

K = [r0F].                                                   (34.9)

Таким образом, при движении твердого тела в однородном поле влияние поля сводится к действию одной силы F, «приложенной» в точке с радиус-вектором (34.8). Положение этой точки всецело определяется свойствами самого тела; в поле тяжести, например, она совпадает с центром инерции тела.