18 | 11 | 2017

Момент импульса твердого тела

Величина момента импульса системы зависит, как мы знаем, от выбора точки, относительно которой он определен. В механике твердого тела наиболее рационален выбор в качестве этой точки начала подвижной системы координат, т.е. центра инерции тела. Ниже мы будем понимать под M момент, определенный именно таким образом.

Согласно формуле (9.6) при выборе начала координат в центре инерции тела его момент M совпадает с «собственным моментом», связанным лишь с движением точек тела относительно центра инерции. Другими словами, в определении M=m[rv] надо заменить v на [Ωr]:

M = m[r[Ωr]] = m{r 2Ωr(rΩ)},

или в тензорных обозначениях:

Mim {xi2Ωi − xi xk Ωk} = Ωk m {xi2 δikxi xk}.

Наконец, учитывая определение (32.2) тензора инерции, получаем окончательно:

Mi = Iik Ωk.                                                                   (33.1)

Если оси x1, x2, x3 направлены вдоль главных осей инерции тела, то эта формула дает:

М1 = I1 Ω1,  М2 = I2 Ω2М3 = I3 Ω3.                               (33.2)

В частности, для шарового волчка, когда все три главных момента инерции совпадают, имеем просто:

M = I Ω,                                                                        (33.3)

т.е. вектор момента пропорционален вектору угловой скорости и имеет одинаковое с ним направление.

В общем же случае произвольного тела вектор M, вообще говоря, не совпадает по своему направлению с вектором Ω, и лишь при вращении тела вокруг какой-либо из его главных осей
инерции M и Ω имеют одинаковое направление.

Рассмотрим свободное движение твердого тела, не подверженного действию каких-либо внешних сил. Не представляющее интереса равномерное поступательное движение будем предполагать исключенным, так что речь идет о свободном вращении тела.

Как и у всякой замкнутой системы, момент импульса свободно вращающегося тела постоянен. Для шарового волчка условие M=const приводит просто Ω=const. Это значит, что общим случаем свободного вращения шарового волчка является просто равномерное вращение вокруг постоянной оси.

Столь же прост случай ротатора. Здесь тоже M=IΩ, причем вектор Ω перпендикулярен к оси ротатора. Поэтому свободное вращение ротатора есть равномерное вращение в одной плоскости вокруг направления, перпендикулярного к этой плоскости.

Закон сохранения момента достаточен и для определения более сложного свободного вращения симметрического волчка.

Воспользовавшись произвольностью выбора направлений главных осей инерции x1, x2 (перпендикулярных к оси симметрии волчка x3), выберем ось x2 перпендикулярной к плоскости, определяемой постоянным вектором M и мгновенным положением оси x3. Тогда M2=0, а из формул (33.2) видно, что и Ω2=0. Это значит, что направления MΩ и оси волчка в каждый момент времени лежат в одной плоскости (рис. 46). Но отсюда в свою очередь следует, что скорости v= [Ωr] всех точек на оси волчка в каждый момент времени перпендикулярны к указанной плоскости; другими словами, ось волчка равномерно (см. ниже) вращается вокруг направления M, описывая круговой конус (так называемая регулярная прецессия волчка). Одновременно с прецессией сам волчок равномерно вращается вокруг собственной оси.

Рис. 46

Угловые скорости обоих этих вращений легко выразить через заданную величину момента М и угол наклона θ оси волчка к направлению M. Угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси есть просто проекция Ω3 вектора Ω на эту ось:

Ω3 = cos θ.                                                (33.4)

Для определения же скорости прецессии Ωпр надо разложить вектор Ω по правилу параллелограмма на составляющие вдоль x3 и вдоль M. Из них первая не приводит ни к какому перемещению самой оси волчка, а потому вторая и дает искомую угловую скорость прецессии. Из построения на рис. 46 ясно, что Ωпрsinθ=Ω1, а поскольку Ω1=M1/I1=Msinθ/I1, то получаем

Ωпр = .                                                                               (33.5)