20 | 11 | 2017

Тензор инерции

Тензор инерции, очевидно, адцитивен — моменты инерции тела равны суммам моментов инерции его частей.

Если твердое тело можно рассматривать как сплошное, то в определении (32.2) сумма заменяется интегралом по объему тела:

Iik ρ (xi2 δikxi xk) dV.                                                (32.7)

Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции может быть приведен к диагональному виду путем соответствующего выбора направлений осей x1, x2, x3. Эти направления называют — главные оси инерции, а соответствующие значения компонент тензора — главные моменты инерции; обозначим их как I1, I2, I3. При таком выборе осей x1, x2, x3 вращательная кинетическая энергия выражается особенно просто:

Tвр (I1 + I2 + I3).                                      (32.8)

Отметим, что каждый из трех главных моментов инерции не может быть больше суммы двух других. Так,

I1 + I2 = m ( + 2) ≥ m () = I3.      (32.9)

Тело, у которого все три главных момента инерции различны, называют — асимметрический волчок.

Если два главных момента инерции равны друг другу, I1=I2I3, то твердое тело называют — симметрический волчок. В этом случае выбор направления главных осей в плоскости x1x2 произволен.

Если же все три главных момента инерции совпадают, то тело называют — шаровый волчок. В этом случае произволен выбор всех трех главных осей инерции: в качестве их можно взять любые три взаимно перпендикулярные оси.

Нахождение главных осей инерции очень упрощается, если твердое тело обладает той или иной симметрией; ясно, что положение центра инерции и направления главных осей инерции должны обладать той же симметрией.

Так, если тело обладает плоскостью симметрии, то центр инерции должен лежать в этой плоскости. В ней же лежат две главные оси инерции, и третья — перпендикулярна к ней. Очевидным случаем такого рода является система частиц, расположенных в одной плоскости. В этом случае существует простое соотношение между тремя главными моментами инерции. Если плоскость системы выбрана в качестве плоскости x1x2 то поскольку для всех частиц x3=0, имеем

I1 = mI2 = mI3 = m( + ),

так что

I3I1 + I2.                                             (32.10)

Если тело обладает осью симметрии какого-либо порядка, то центр инерции лежит на этой оси. С ней же совпадает одна из главных осей инерции, а две другие — перпендикулярны к ней. При этом если порядок оси симметрии выше второго, то тело является симметрическим волчком. Действительно, каждую главную ось (перпендикулярную к оси симметрии) можно повернуть тогда на угол, отличный от 180°, т.е. выбор этих осей становится неоднозначным, а это возможно лишь в случае симметрического волчка.

Особым случаем является система частиц, расположенных вдоль одной прямой линии. Если выбрать эту прямую в качестве оси x3, то для всех частиц x1=x2=0, и потому два главных момента инерции совпадают, а третий равен нулю:

I1I2 = m,    I3 = 0.                                          (32.11)

Такую систему называют — ротатор. Характерной особенностью ротатора в отличие от общего случая произвольного тела является то, что он имеет всего две (а не три) вращательные степени свободы, соответствующие вращениям вокруг осей x1 и x2; говорить же о вращении прямой вокруг самой себя, очевидно, не имеет смысла.

Наконец, сделаем еще одно замечание по поводу вычисления тензора инерции. Хотя мы определили этот тензор по отношению к системе координат с началом в центре инерции (только при таком определении справедлива основная формула (32.3)), для его вычисления, однако, может иногда оказаться удобным вычислить предварительно аналогичный тензор

I′ik = m(x'i2 δikx'i x'k),

определенный по отношению к другому началу О'. Если расстояние OO' дается вектором a, то r=r'+a, xi=x'ii; учитыва я также, что mr=0, по определению точки О, найдем:

I′ik = Iik + μ(α2 δik − αi αk).                                               (32.12)

По этой формуле, зная I′ik легко вычислить искомый тензор Iik.