18 | 11 | 2017
Are you looking for "get paid"? Check out homegrownwealth The passionate experts in this field are ready to answer all of your requests.
pabxsystemsdubai made a real revolution in the industry.

Тензор инерции

Для вычисления кинетической энергии твердого тела рассмотрим его как дискретную систему материальных точек:

T = ,

где суммирование производится по всем точкам, составляющим тело. Здесь и ниже мы опускаем индексы, нумерующие эти точки, с целью упрощения записи формул.

Подставив сюда (31.2), получим

T (V + [Ωr])2 = V 2 + m V [Ωr] +  [Ωr]2.

Скорости V и Ω одинаковы для всех точек твердого тела. Поэтому в первом члене V 2/2 выносится за знак суммы, а сумма m есть масса тела, которую мы будем обозначать буквой μ.

Второй член запишем так:

m V [Ωr] = m r [Ωr] = [Ωr] m r.

Отсюда видно, что если начало движущейся системы координат выбрано, как условлено, в центре инерции, то этот член обращается в нуль, так как в этом случае mr=0. Наконец, в третьем члене раскрываем квадрат векторного произведения и в результате находим

T = m2r 2 − (Ωr)2}.                                (32.1)

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела может быть представлена в виде суммы двух частей. Первый член в (32.1) есть кинетическая энергия поступательного движения — она имеет такой вид, как если бы вся масса тела была сосредоточена в его центре инерции. Второй член есть кинетическая энергия вращательного движения с угловой скоростью Ω вокруг оси, проходящей через центр инерции. Подчеркнем, что возможность такого разделения кинетической энергии на две части обусловлена выбором начала связанной с телом системы координат именно в его центре инерции.

Перепишем кинетическую энергию вращения в тензорных обозначениях, т.е. через компоненты xi , Ωi векторов r, Ω:

Tвр mi2xi2 − Ωi xi Ωk xk} = mi Ωk δik xi2 − Ωi Ωk xi xk} =  Ωi Ωk m (xi2 δikxi xk).

Здесь использовано тождество ΩiikΩk, где δik — единичный тензор (компоненты которого равны единице при i=k и нулю при ik). Введя тензор

  Iik = m (xi2 δikxi xk),                                            (32.2)

получим окончательное выражение для кинетической энергии твердого тела в виде

T =  Iik Ωi Ωk .                                                 (32.3)

Функция Лагранжа твердого тела получается из (32.3) вычитанием потенциальной энергии

L Iik Ωi Ωk − U.                                            (32.4)

Потенциальная энергия является в общем случае функцией шести переменных, определяющих положение твердого тела, например, трех координат X, Y, Z центра инерции и трех углов, определяющих ориентацию движущихся осей координат относительно неподвижных.

Тензор Iik называется тензором моментов инерции или просто тензором инерции тела. Как ясно из определения (32.2), он симметричен, т.е.

IikIki .                                                                      (32.5)

Выпишем для наглядности его компоненты в явном виде в следующей таблице:

Iik . (32.6)

Компоненты Ixx, IyyIzz иногда называют моментами инерции относительно соответствующих осей.