23 | 01 | 2018
Are you looking for "get paid"? Check out homegrownwealth The passionate experts in this field are ready to answer all of your requests.

Тензор инерции

Для вычисления кинетической энергии твердого тела рассмотрим его как дискретную систему материальных точек:

T = ,

где суммирование производится по всем точкам, составляющим тело. Здесь и ниже мы опускаем индексы, нумерующие эти точки, с целью упрощения записи формул.

Подставив сюда (31.2), получим

T (V + [Ωr])2 = V 2 + m V [Ωr] +  [Ωr]2.

Скорости V и Ω одинаковы для всех точек твердого тела. Поэтому в первом члене V 2/2 выносится за знак суммы, а сумма m есть масса тела, которую мы будем обозначать буквой μ.

Второй член запишем так:

m V [Ωr] = m r [Ωr] = [Ωr] m r.

Отсюда видно, что если начало движущейся системы координат выбрано, как условлено, в центре инерции, то этот член обращается в нуль, так как в этом случае mr=0. Наконец, в третьем члене раскрываем квадрат векторного произведения и в результате находим

T = m2r 2 − (Ωr)2}.                                (32.1)

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела может быть представлена в виде суммы двух частей. Первый член в (32.1) есть кинетическая энергия поступательного движения — она имеет такой вид, как если бы вся масса тела была сосредоточена в его центре инерции. Второй член есть кинетическая энергия вращательного движения с угловой скоростью Ω вокруг оси, проходящей через центр инерции. Подчеркнем, что возможность такого разделения кинетической энергии на две части обусловлена выбором начала связанной с телом системы координат именно в его центре инерции.

Перепишем кинетическую энергию вращения в тензорных обозначениях, т.е. через компоненты xi , Ωi векторов r, Ω:

Tвр mi2xi2 − Ωi xi Ωk xk} = mi Ωk δik xi2 − Ωi Ωk xi xk} =  Ωi Ωk m (xi2 δikxi xk).

Здесь использовано тождество ΩiikΩk, где δik — единичный тензор (компоненты которого равны единице при i=k и нулю при ik). Введя тензор

  Iik = m (xi2 δikxi xk),                                            (32.2)

получим окончательное выражение для кинетической энергии твердого тела в виде

T =  Iik Ωi Ωk .                                                 (32.3)

Функция Лагранжа твердого тела получается из (32.3) вычитанием потенциальной энергии

L Iik Ωi Ωk − U.                                            (32.4)

Потенциальная энергия является в общем случае функцией шести переменных, определяющих положение твердого тела, например, трех координат X, Y, Z центра инерции и трех углов, определяющих ориентацию движущихся осей координат относительно неподвижных.

Тензор Iik называется тензором моментов инерции или просто тензором инерции тела. Как ясно из определения (32.2), он симметричен, т.е.

IikIki .                                                                      (32.5)

Выпишем для наглядности его компоненты в явном виде в следующей таблице:

Iik . (32.6)

Компоненты Ixx, IyyIzz иногда называют моментами инерции относительно соответствующих осей.