20 | 11 | 2017

Угловая скорость

Обозначим радиус-вектор произвольной точки P твердого тела в подвижной системе координат через r, а радиус-вектор той же точки в неподвижной системе — через . Тогда бесконечно малое смещение d точки P складывается из перемещения dR вместе с центром инерции и перемещения [dφ•r] относительно последнего при повороте на бесконечно малый угол dφ (см. (9.1)):

d = dR + [dφ•r].

Разделив это равенство на время dt, в течение которого произошло рассматриваемое перемещение, и введя скорости

= v,   = V,  Ω                                            (31.1)

получим соотношение между ними

v = V + [Ωr].                                                               (31.2)

Вектор V есть скорость центра инерции твердого тела; ее называют также скоростью его поступательного движения; вектор Ωугловая скорость вращения твердого тела; его направление (как и направление dω) совпадает с направлением оси вращения. Таким образом, скорость v любой точки тела (относительно неподвижной системы координат) может быть выражена через поступательную скорость тела и угловую скорость его вращения.

Следует подчеркнуть, что при выводе формулы (31.2) специфические свойства начала координат как центра инерции тела совершенно не были использованы. Преимущества этого выбора выяснятся лишь позже при вычислении энергии движущегося тела.

Допустим теперь, что жестко связанная с твердым телом система координат выбрана так, что ее начало находится не в центре инерции О, а в некоторой точке О' на расстоянии а от точки О. Скорость перемещения начала О' этой системы обозначим через V', а угловую скорость ее вращения — через Ω'.

Рассмотрим снова какую-либо точку Р твердого тела и обозначим ее радиус-вектор относительно начала О' через r'. Тогда r=r'+a и подстановка в (31.2) дает

v = V + [Ωa] + [Ωr'].

С другой стороны, по определению V' и Ω', должно быть v=V'+[Ω'r']. Поэтому мы приходим к выводу, что

V' = V + [Ωa],  Ω' = Ω.                                                       (31.3)

Второе из этих равенств весьма существенно. Мы видим, что угловая скорость, с которой в каждый данный момент времени вращается жестко связанная с телом система координат, оказывается совершенно не зависящей от этой системы. Все такие системы вращаются в заданный момент времени вокруг параллельных друг другу осей с одинаковой по абсолютной величине скоростью Ω. Это обстоятельство и дает нам право называть Ω угловой скоростью вращения твердого тела как такового. Скорость же поступательного движения такого «абсолютного» характера отнюдь не имеет.

Из первой формулы (31.3) видно, что если V и Ω (в данный момент времени) взаимно перпендикулярны при каком-либо выборе начала координат О, то они (т.е. V' и Ω') взаимно перпендикулярны и при определении по отношению к любому другому началу О'. Из формулы (31.2) видно, что в этом случае скорости v всех точек тела лежат в одной и той же плоскости — плоскости, перпендикулярной к Ω. При этом всегда можно выбрать такое начало О', скорость V' которого равна нулю, что движение твердого тела (в данный момент) будет представлено как чистое вращение вокруг оси, проходящей через О'. Эту ось называют мгновенной осью вращения тела.

В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что начало движущейся системы координат выбрано в центре инерции тела, так что и ось вращения тела проходит через этот центр. При движении тела меняются, вообще говоря, как абсолютная величина Ω, так и направление оси вращения.